Leçon d'épistémologie : logique et mathématiques. Textes de Poincaré et Galilée

Quelques textes de Poincaré parmi ceux qui ont été évoqués en séance. J'ajoute en outre la caractérisation de la science galiléenne de la nature.

J'ajouterai ici par la suite des éléments d'explication, ou de rappel, pour chacun de ces textes.

[Les intertitres ne sont pas de Poincaré]

Poincaré, La science et l'hypothèse :

Texte 1 : [Ière Partie, Ch. 1] la stérilité de l'analyse

"Le débat est ancien ; déjà Leibnitz cherchait à démontrer que 2 et 2 font 4 ; examinons un peu sa démonstration.
Je suppose que l'on ait défini le nombre 1 et l'opération x + 1 qui consiste à ajouter l'unité à un nombre donné x.
Ces définitions, quelles qu'elles soient, n'interviendront pas dans la suite du raisonnement.
Je définis ensuite les nombres 2, 3 et 4 par les égalités
(1) 1+1 = 2 ;
(2) 2+1 = 3 ;
(3) 3+1 = 4 .
Je définis de même l'opération x + 2 par la relation :
(4) x+2 = (x+1)+1.
Cela posé nous avons :
2+2 = (2+1)+1 (Définition 4)
(2+1)+1 = 3+1 (Définition 2)
3+1 = 4 (Définition 3)

d'où

2+2 = 4
CQFD
Ou ne saurait nier que ce raisonnement ne soit purement analytique. Mais interrogez un mathématicien quelconque : "Ce n'est pas une démonstration proprement dite, vous répondra- t-il, c'est une vérification". On s'est borné à rapprocher l'une de l'autre deux définitions purement conventionnelles et on a constaté leur identité, on n'a rien appris de nouveau. La vérification diffère précisément de la véritable démonstration, parce qu'elle est purement analytique et parce qu'elle est stérile. Elle est stérile parce que la conclusion n'est que la traduction des prémisses dans un autre langage. La démonstration véritable est féconde au contraire parce que la conclusion y est en un sens plus générale que les prémisses.
L'égalité 2 + 2 = 4 n'a été ainsi susceptible d'une vérification que parce qu'elle est particulière. Tout énoncé particulier en mathématiques pourra toujours être vérifié de la sorte. Mais si la mathématique devait se réduire à une suite de pareilles vérifications, elle ne serait pas une science. Ainsi un joueur d'échecs, par exemple, ne crée pas une science en gagnant une partie. Il n'y a de science que du général.

On peut même dire que les sciences exactes ont précisément pour objet de nous dispenser de ces vérifications directes."

Texte 2 : [IIe Partie, Ch. 3] comment on construit une géométrie non euclidienne

"LA GEOMETRIE DE RIEMANN. -- Imaginons un monde uniquement peuplé d'êtres dénués d'épaisseur ; et supposons que ces animaux 'infiniment plats' soient tous dans un même plan et n'en puissent sortir. Admettons de plus que ce monde soit assez éloigné des autres pour être soustrait à leur influence. Pendant que nous sommes en train de faire des hypothèses, il ne nous en coûte pas plus de douer ces êtres de raisonnement et de les croire capables de faire de la géométrie. Dans ce cas, ils n'attribueront certainement à l'espace que deux dimensions.
Mais supposons maintenant que ces animaux imaginaires, tout en restant dénués d'épaisseur, aient la forme d'une figure sphérique, et non d'une figure plane et soient tous sur une même sphère sans pouvoir s'en écarter. Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d'abord qu'ils n'attribueront à l'espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d'un point à un autre sur la sphère, c'est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique.
Ce qu'ils appelleront l'espace, ce sera cette sphère d'où ils ne peuvent sortir et sur laquelle se passent tous les phénomènes dont ils peuvent avoir connaissance. Leur espace sera donc sans limites puisqu'on peut sur une sphère aller toujours devant soi sans jamais être arrêté, et cependant il sera fini ; on n'en trouvera jamais le bout, mais on pourra en faire le tour.
Eh bien, la géométrie de Riemann, c'est la géométrie sphérique étendue à trois dimensions. Pour la construire, le mathématicien allemand a dû jeter par-dessus bord, non seulement le postulatum d'Euclide, mais encore le premier axiome : Par deux points on ne peut faire passer qu'une droite.
Sur une sphère, par deux points donnés on ne peut faire en général passer qu'un grand cercle (qui, comme nous venons de le voir, jouerait le rÙle de la droite pour nos êtres imaginaires), mais il y a une exception : si les deux points donnés sont diamétralement opposés, on pourra faire passer par ces deux points une infinité de grands cercles.
De même dans la géométrie de Riemann (au moins sous une de ses formes), par deux points ne passera en général qu'une seule droite ; mais il y a des cas exceptionnels où par deux points pourront passer une infinité de droites.
Il y a une sorte d'opposition entre la géométrie de Riemann et celle de Lobatchevsky.

Ainsi la somme des angles d'un triangle est :

Egalé à deux droits dans la géométrie d'Euclide.

Plus petite que deux droits dans celle de Lobatchevsky.

Plus grande que deux droits dans celle de Riemann.

Le nombre des parallèles qu'on peut mener à une droite donnée par un point donné est égal à un dans la géométrie d'Euclide, à zéro dans celle de Riemann, à l'infini dans celle de Lobatchevsky.
Ajoutons que l'espace de Riemann est fini, quoique sans limite, au sens donné plus haut à ces deux mots."

Texte 3 : Dernières pensées. Caractérisation de la cécité du logicisme.

§ 1. - LISTE DES AXIOMES

La première, chose à faire était d'énumérer tous les axiomes de la géométrie. Ce n'était pas si facile qu'on pourrait le croire ; il y a les axiomes que l'on voit et ceux qu'on ne voit pas, ceux qu'on introduit inconsciemment et sans s'en apercevoir. Euclide lui-même, que l'on croit un logicien impeccable, en applique souvent qu'il n'énonce pas.
La liste de M. Hilbert est-elle définitive ? Il est permis de le croire, car elle semble avoir été dressée avec soin. Le savant professeur répartit les axiomes en cinq groupes :
I. Axiome der Verknüpfung (je traduirai par axiomes projectifs, au lieu de chercher une traduction littérale comme, par exemple, axiomes de la connexion, qui ne saurait être satisfaisante) ;
II. Axiome der Anordnung (axiomes de l'ordre) ;
III. Axiome d’Euclide ;
IV. Axiomes de la congruence ou axiomes métriques ;
V. Axiome d'Archimède.
Parmi les axiomes projectifs, nous distinguerons ceux du plan et ceux de l'espace ; les premiers sont ceux qui dérivent de la proposition bien connue : «Par deux points passe une droite et une seule» ; mais je préfère traduire littéralement, afin de bien faire comprendre la pensée de M. Hilbert.

"Imaginons trois systèmes d'objets que nous appellerons points, droites et plans. Imaginons que ces points, droites et plans soient liés par certaines relations que nous exprimerons par les mots «être situé sur, entre», etc.

I. 1. Deux points différents A et B déterminent toujours une droite a, ce que nous écrirons : AB = a ou BA = a.

Au lieu du mot «déterminent», nous emploierons également d'autres tournures de phrase qui seront synonymes ; nous dirons : A est situé sur a, A est un point de a, a passe par A, a joint A à B, etc.

I. 2. Deux points quelconques d'une droite déterminent cette droite, c'est-à-dire que, si AB = a et que AC = a, et si B est différent de C, on a aussi BC = a."

Voici les réflexions que doivent nous inspirer ces énoncés : les expressions «être situé sur, passer par», etc., ne sont pas destinées à évoquer des images ; elles sont simplement des synonymes du mot déterminer. Les mots «point, droite et plan» eux-mêmes ne doivent provoquer dans l'esprit aucune représentation sensible. Ils pourraient indifféremment désigner des objets d'une nature quelconque, pourvu qu'on pût établir entre ces objets une correspondance telle qu'à tout système de deux objets appelés points correspondît un des objets appelés droites et un seul. Et c'est pourquoi il devient nécessaire d'ajouter (I, 2) que, si la droite qui correspond à un système de deux points A et B est la même que celle qui correspond au système des deux points B et C, c'est aussi la même qui correspond au système des deux points A et C.
Ainsi, M. Hilbert a, pour ainsi dire, cherché à mettre les axiomes sous une forme telle qu'ils puissent être appliqués par quelqu'un qui n'en comprendrait pas le sens, parce qu'il n'aurait jamais vu ni points, ni droite, ni plan. Les raisonnements doivent pouvoir, d'après lui, se ramener à des règles purement mécaniques, et il suffit pour faire la géométrie d'appliquer servilement ces règles aux axiomes, sans savoir ce qu'ils veulent dire. On pourra ainsi construire toute la géométrie, je ne dirai pas précisément sans y rien comprendre, puisqu'on saisira l'enchaînement logique des propositions, mais tout au moins sans y rien voir. On pourrait confier les axiomes à une machine à raisonner, par exemple au «piano raisonneur» de Stanley Jevons, et on en verrait sortir toute la géométrie.
C'est la même préoccupation qui a inspiré certains savants italiens, tels que MM. Péano et Padoa, qui se sont efforcés de créer une «pasigraphie», c'est-à-dire une sorte d'algèbre universelle où tous les raisonnements sont remplacés par des symboles ou des formules. Cette préoccupation peut sembler artificielle et puérile, et il est inutile de faire observer combien elle serait funeste dans l'enseignement et nuisible au développement des esprits, combien elle serait desséchante pour les chercheurs, dont elle tarirait promptement l'originalité. Mais, chez M. Hilbert, elle s'explique et se justifie si l'on se rappelle le but poursuivi. La liste des axiomes est-elle complète ou en avons-nous laissé échapper quelques-uns que nous appliquons inconsciemment ? Voilà ce qu'il faut savoir. Pour cela, nous avons un critère, et nous n'en avons qu'un. Il faut chercher si la géométrie est une conséquence logique des axiomes explicitement énoncés, c'est-à-dire si ces axiomes confiés à la machine à raisonner peuvent en faire sortir toute la suite des propositions. Si oui, on sera certain de n'avoir rien oublié. Car notre machine ne peut fonctionner que conformément aux règles de la logique pour lesquelles elle a été construite ; elle ignore ce vague instinct que nous appelons intuition.

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Galilée, L'Essayeur & Dialogue sur les deux plus grands systèmes du monde (Edition Nationale pour les références)

[TEXTE 1]
Il Saggiatore, 1623, EN V, 232
La philosophie est écrite dans cet immense livre continuellement ouvert sous nos yeux, c'est à dire l'univers, mais on ne peut le comprendre si d'abord on n'apprend à connaître la langue en laquelle il est écrit .(...) Il est écrit en langue mathématique et les caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques sans le moyen desquels il est impossible humainement d'y rien comprendre.

[TEXTE 2]
Dialogue, Préface
Qui considère les choses d'un point plus élevé, se singularise plus grandement; se tourner vers le grand livre de la nature, qui est proprement l'objet de la philosophie, est le moyen d'élever son regard; bien que tout ce qui se lit dans ce livre soit le mieux proportionné, en tant que fruit du souverain artisan, c'est lorsque se découvre à nos yeux le travail et l'artifice que la lecture en est plus claire et plus digne. La constitution de l'univers, à ce qu'il me semble, est parmi les choses naturelles perceptibles ce qui se peut placer au premier rang, puisque, en tant que contenant universel, elle dépasse en grandeur tout le reste, et comme règle et soutien de toute chose, elle doit aussi les dépasser en noblesse.

[TEXTE 3]
Dialogue, EN VII, 78
SALV. Si on discutait d'un point de droit ou d'une autre partie des humanités dans lesquelles il n'y a ni vérité ni fausseté, on pourrait bien se fier à la subtilité d'esprit, la facilité de parole, l'aisance dans l'écriture, et espérer que quelqu'un, dépassant les précédents, montre et fasse reconnaître la supériorité de son raisonnement. Mais dans les sciences de la nature, les conclusions sont vraies et nécessaires, elles n'ont que faire de la volonté humaine, il faut donc se garder d'y prendre la défense du faux: mille Démosthènes, mille Aristotes perdraient la partie face à tout esprit moyen qui, par chance, aurait appréhendé la vérité. Signor Simplicio, n'y pensez plus, n'attendez plus la venue d'hommes plus savants que nous, plus érudits et nourris de livres, qui, au mépris de la nature, pourraient transformer en vrai ce qui est faux. De toutes les opinions présentées jusqu'à présent sur l'essence de ces taches solaires, celle que vous venez d'exposer vous semble la vraie; si c'est le cas, c'est que toutes les autres sont fausses.

[TEXTE 4]
Dialogue, EN VII, 81
SAGREDO : Je me mets à la place du signor Simplicio. Je le vois très ébranlé par fa force de ces raisons vraiment concluantes. Mais d'autre part, à voir la grande autorité qu'Aristote a acquise universellement, à considérer le nombre des interprètes fameux qui se sont épuisés à expliquer ce qu'il voulait dire, à voir d'autres sciences, si utiles et nécessaires au public, fonder sur le crédit d'Aristote une grande partie de leur estime et de leur réputation, le signor Simplicio est fort troublé et effrayé; je crois l'entendre demander: à qui recourir pour régler nos controverses, si on détrône Aristote? Quel autre auteur suivre dans les écoles, académies et universités? Quel philosophe a traité, et de façon si ordonnée, toutes les parties de la philosophie naturelle sans omettre la moindre conclusion particulière? Faut-il dévaster cet édifice où tant de voyageurs viennent se réfugier? Faut-il détruire cet asile, ce Prytanée, où viennent s'abriter si commodément tant de savants, où, sans s'exposer aux injures de l'air, simplement en tournant quelques feuillets, on peut acquérir toutes les connaissances sur la nature? Faut-il ruiner ce rempart à l'abri duquel on demeure en sécurité contre tous les assauts ennemis? Je compatis avec lui, comme avec quelqu'un qui, au prix de beaucoup de temps, d'une dépense énorme, du travail de centaines d'artisans, aurait édifié un magnifique palais, et le verrait menacer ruine, parce que les fondations seraient mauvaises: pour s'épargner la douleur de voir s'écrouler les murs ornés de tant de gracieuses peintures, tomber les colonnes qui soutiennent les superbes galeries, tomber les plafonds dorés, s'écrouler les chambranles, frontispices et corniches en marbre, qu'on avait amenés là à si grand prix, il chercherait à prévenir la ruine au moyen de chaînes, étais, contreforts, barbacanes et étançons.

[TEXTE 5]
Dialogue, EN VII, 128-131
[1] SALVIATI: En voici un autre exemple. Ne dit-on pas qu'en sachant dans un marbre découvrir une très belle statue, le génie de Buonarroti s'est hissé bien au-dessus des esprits communs? Faire cela, ce n'est pourtant qu'imiter une seule attitude, la disposition extérieure et superficielle des membres d'un homme immobile. Qu'est-ce en comparaison d'un homme que la nature a fait, composé de tant de mem¬bres externes et internes, de tant de muscles, tendons, nerfs et os, qui servent à tant de mouvements différents? sans parler des sens, des puissances de l'âme, et enfin de la puissance de comprendre? N'aurons-nous pas raison de dire qu'entre la fabrication d'une statue et la formation d'un homme vivant, voire la formation d'un misérable ver, il y a une distance infinie?
SAGR. : Quelle différence faites-vous entre la colombe d'Archytas et une colombe de la nature?
SIMPL. : Ou je suis de ceux qui ne comprennent rien, ou alors votre raisonnement comporte une contradiction évidente. Parmi les plus grands éloges qu'on fait de l'homme, œuvre de la nature, l'éloge suprême est à vos yeux qu'il peut comprendre; or, avec Socrate, vous venez de dire qu'il ne comprend rien; cela voudrait dire que la nature non plus n'a pas compris comment faire un intellect qui comprenne.
SALV. : Votre objection est très pénétrante. Pour y répondre, recourons à une distinction philosophique, et disons que comprendre se prend en deux sens, intensive ou bien extensive; extensive, c'est-à-dire par rapport à la multitude des choses intelligibles - il y en a une infinité -, l'entendement humain est comme rien, quand bien même il comprendrait mille propositions, puisque mille, par rapport à l'infini, est comme zéro; mais si on entend comprendre intensive, pour autant que ce terme implique intensité, c'est-à-dire perfection, dans la compréhension d'une proposition, je dis que l'intellect humain en comprend parfaitement certaines et en a une certitude aussi absolue que la nature elle-même peut en avoir; c'est le cas des sciences mathématiques pures, c'est-à-dire de la géométrie et de l'arithmétique: en ces sciences l'intellect divin peut bien connaître infiniment plus de propositions que l'intellect humain, puisqu'il les connaît toutes, mais à mon sens la connaissance qu'a l'intellect humain du petit nombre de celles qu'il comprend parvient à égaler en certitude objective la connaissance divine, puisqu'elle arrive à en comprendre la nécessité et qu'au-dessus de cela il n'y a rien de plus assuré.

[2] Pour mieux m'expliquer, je dirai que la vérité que nous font connaître les démonstrations mathématiques est celle-là même que connaît la sagesse divine; je veux bien vous concéder que la façon dont Dieu connaît l'infinité des propositions, alors que nous n'en connaissons qu'un petit nombre, est éminemment plus excellente que la nôtre: notre façon procède par raisonnements [discorsi] et passages de conclusion en conclusion, alors que Sa façon est l'intuition simple; par exemple, pour obtenir la science des propriétés du cercle (et il y en a une infinité), nous commençons par l'une des plus simples, la prenons pour définition, puis, par raisonnement [discorso], passons à une seconde, à une troisième ensuite, à une quatrième encore, etc.; l'intellect divin, par la simple appré¬hension de l'essence du cercle, sans raisonnement qui suppose du temps, comprend l'infinité entière de ces propriétés; elles sont en effet virtuellement comprises dans les définitions de toutes les choses et finalement, tout en étant en nombre infini, peut-être ne font-elles qu'un dans leur essence et dans l'esprit divin. Cela n'est pas non plus totalement inconnu à l'intellect humain, mais une brume profonde et dense le lui dissimule; cette brume se réduit et s'éclaircit partiellement quand nous nous sommes rendus maîtres de quelques conclusions, solidement démontrées et possédées, dont nous disposons si aisément que nous pouvons passer rapidement de l'une à l'autre; car enfin, dans un triangle, l'égalité du carré opposé à l'angle droit avec les carrés des deux autres côtés, qu'est-ce sinon l'égalité de parallélogrammes ayant des bases communes et tracés entre des parallèles? Et n'est-ce pas finalement la même chose que l'égalité de deux surfaces qui, appliquées l'une sur l'autre, restent dans les mêmes limites sans se dépasser? Or ces passages que notre intellect fait dans le temps, en avançant pas à pas, l'intellect divin, à la façon de la lumière, les parcourt en un instant, ce qui revient à dire qu'il les a toujours tous présents.
J'en conclus que l'entendement divin dépasse infiniment le nôtre par sa façon de comprendre et par la multitude des choses qu'il comprend; mais je n'abaisse pas le nôtre jusqu'à le tenir pour rien du tout; et même, quand je considère les nombreuses et merveilleuses choses que les hommes ont comprises, cherchées et réalisées, je connais alors et comprends très clairement que l'esprit humain est l' œuvre de Dieu, l'une de ses plus excellentes.
SAGR. : A ce sujet, j'ai maintes fois considéré, moi aussi, la grande pénétration de l'intellect humain. Quand je vois tant de merveilleuses découvertes faites par les hommes, dans les arts comme dans les lettres, et que je réfléchis sur mon savoir, je ne puis promettre de trouver des choses nouvelles, ni même d'apprendre celles qui ont déjà été trouvées; alors, confondu de stupeur, affligé de désespoir, je me jugerais presque accablé par le malheur. Si je regarde quelque excellente statue, je me dis: quand sauras-tu retirer le superflu d'un morceau de marbre et découvrir la si belle figure qui y était cachée? Quand sauras-tu mélanger et étendre différentes couleurs sur une toile ou un mur et représenter tous les objets visibles, à la façon d'un Michel-Ange, d'un Raphaël, d'un Titien? Si je regarde ce qu'ont trouvé les hommes pour partager les intervalles en musique, établir des préceptes et des règles dont la mise en oeuvre fait les délices de l'oreille, quand cessera ma stupeur? Que dire de tant d'ins¬truments si divers? Et la lecture des poètes excellents, de quelles mer¬veilles ne remplit-elle pas celui qui prête attention à l'invention des beautés [concetti] et à leur agencement! Que dire de l'architecture? De l'art de la navigation? Mais, au-delà de toutes ces stupéfiantes inventions, de quelle supériorité d'esprit témoigna celui qui trouva le moyen de communiquer ses pensées les plus cachées à n'importe qui d'autre, fût-il très éloigné dans l'espace et dans le temps! Parler à ceux qui se trouvent aux Indes, à ceux qui ne sont pas encore nés et ne le seront que dans mille ou dix mille ans ! et avec quelle facilité! en assemblant diversement vingt petits caractères sur une feuille de papier! C'est là le sceau de toutes les admirables inven¬tions humaines, ce sera la conclusion de nos discussions d'aujourd'hui! Les heures les plus chaudes sont passées, je pense que le signor Salviati aura l'envie d'aller en barque profiter de notre fraîcheur; demain je vous attendrai tous les deux pour continuer les discussions commencées.