Cours du 23 mars 2006 : Poincaré, science et réalisme. TD en ligne.
Le conventionalisme auquel Poincaré s'oppose dans les textes qu'il publie de 1902 à sa mort, en 1912, n'a pas exactement le même contenu que celui qui était apparu aux premières lueurs de la très rebattue Révolution scientifique. Le texte dans lequel Copernic présente la forme définitive de son système du monde [1] est en effet livré avec une étonnante Préface qui est signée par Osiander [2]. Ce dernier, dont les intentions ne sont pas très claires, affirme sans ambages que rien de ce qui apparaît dans le livre de Copernic ne doit être considéré en dehors des limites propres aux hypothèses mathématiques. Sans être pour autant le fruit de fausses pensées, l'héliocentrisme n'existe, selon ce texte, qu'en vertu d'une licence mathématique : son mode d'être théorique lui ôte par conséquent toute prétention à décrire un ordre réel des mouvements planétaires.
Toute la démarche de Galilée, dans ses écrits cosmologiques, consistera à mettre en cause cette lecture du système copernicien, en cherchant dans les cieux des preuves observationnelles et sur Terre des arguments physiques mettant en évidence le mouvement des planètes autour d'un centre solaire commun. Le conventionalisme astronomique, dont ni Galilée ni, par la suite, Christiaan Huygens ne veulent être des partisans, semble justifié en première analyse par l'équivalence des systèmes astronomiques : le principe de relativité a pour conséquence la possibilité d'affirmer en toute rigueur que la terre ne se meut pas. En ce sens Descartes, dans un passage célèbre des Principia Philosophiæ, Troisième partie, pourra se défausser en toute rigueur de l'hypothèse copernicienne. En mécanique théorique, le problème de la convention subit un déplacement puisque l'équivalence des hypothèses n'y a pas la même fonction qu'en astronomie. Ainsi l'usage de convention ne porte pas sur la relation d'une description à un objet, mais sur la légitimité même d'une application globale de la géométrie au réel. Galilée semble avoir été l'auteur d'une doctrine selon laquelle les objets mathématiques et les objets naturels dont ils rendent compte se superposent en vertu du présupposé classique selon lequel le monde possède une structure objective d'ordre.
La thèse universellement répandue de Koyré consiste montrer que cette superposition de la géométrie au réel ne peut se faire que sur le fond d'un platonisme qui substitue à l'espace concret des phénomènes naturels [3] un espace euclidien vidé de toute substance matérielle, seul support des lois du mouvement. La science galiléenne ne serait donc qu'une géométrie et la nature concrète n'y serait pensée qu'à travers une réduction nécessaire : science théorique, la mécanique galiléenne est donc suspectée de n'avoir pas été expérimentale. La convention ou construction intellectuelle des lois y est parfaitement naturelle dans la mesure où la langue géométrique n'est pas autre chose qu'une grammaire des phénomènes naturels : tous les mots ordonnés que l'on forge par une saine expérience de pensée correspondent nécessairement à un possible de la nature dont l'observation expérimentale ne ferait alors que valider, de façon médiate et dérivée, la simple actualité. A l'appui de cette lecture du conventionalisme idéaliste de Galilée, telle page de Il Saggiatore ou la mention de l'une des nombreuses expérimentation fictives dont Galilée affirme être l'auteur peuvent être données. Cette thèse ne semble pas correspondre exactement à une double série de textes galiléens dans lesquels d'une part Galilée consigne les expériences par lesquelles il vérifie la convergence du possible des lois et des cas concrets de mouvement. Ce sont les manuscrits de Padoue. D'autre part, à plusieurs reprises, Galilée s'interroge sur la nature de l'outil géométrique. Il lui assigne des limites, des conditions d'application qui en montrent assez la nature formelle et ustensile. Dans ces limites prescrites par la structure même du milieu, la géométrie est le langage adéquat. Ni pure convention, ni langue originaire de l'univers, la géométrie tire de son propre fonds les règles de sa formation, mais elle sait aussi déterminer des conditions restrictives sur ses propres opérations à partir de l'acte qui consiste à définir les conditions imposées par une physique des milieux denses. Le conventionalisme de Poincaré est situé dans cet entre-deux méthodologique, qui commande à la science de penser les hypothèses qui sont les siennes comme autant de conventions, certes, mais dont le degré d'indifférence face à la structure de l'objet ne saurait être égal dans tous les champs couverts par la pensée scientifique. La science classique a élevé le conventionalisme au rang de dogme dans tous les domaines où les mathématiques fournissent un vecteur commode à la mathématisation.
L'ultime chapitre de la partie proprement mathématique de La science et l'hypothèse insiste sur une partie de la réflexion déjà engagée autour de la géométrie. Il s'agit de la relation entre les principes de la géométrie et l'expérience. Il s'agit d'une partie seulement car, rappelons-le, l'élément principal de la thèse de Poincaré consistait dans le renoncement au caractère a priori des axiomes géométriques. La multiplication des géométries non-euclidiennes a eu pour conséquence brutale le renoncement à l'étroite alliance entre l'espace euclidien et le monde donné dans la perception. La révolution scientifique opérée par Galilée, si elle a bien eu lieu, supposait entre le monde et cette géométrie un rapport de convenance qui a littéralement façonné la physique mathématique classique. Par rapport aux époques antérieurs, le siècle de Galilée, de Descartes et de Newton se distingue très nettement en ce qu'il affirme l'existence d'une structure objective, unique et géométrique dans laquelle les phénomènes peuvent être pensés selon des déterminations métriques (de metron, la mesure) qui se trouvent aussi être celles de l'espace où ils se meuvent. L'expérience ne se rapporte pas à des principes géométriques mais à leur inscription dans la sensibilité, c'est-à-dire dans la perception grossière d'une matière sur laquelle une figure s'inscrit. Tout le Chapitre V de cet ouvrage est donc déterminé par la volonté de récuser toute tentative de penser la géométrie sur le mode des sciences expérimentales susceptibles d'essais, d'erreurs et de réfutation. Il s'agit en fait d'un développement en règle des indications contenues dans le Chapitre III.
Dans un premier moment, Poincaré s'attache à la l'idée d'une expérience cruciale qui permettrait de départager et de juger les géométries. La question de la parallaxe ne peut donc servir de point de partage entre les géométries à courbure nulle, positive ou négative. La géométrie riemanienne en effet, la plus générale et qui comprend celles d'Euclide et de Lobatchevsky comme des cas particuliers paramétrables, pose très clairement l'idée selon laquelle l'espace n'est qu'un cas particulier des grandeurs de dimensions multiples. Il est à trois dimensions et, dans le cas euclidien, n'est qu'un contenant sans interaction avec son contenu. Riemann, dans son ouvrage Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, publié en 1867, offre une géométrie qui pourrait éventuellement accepter l'inter-relation des corps et de l'espace physique qui les contient. Nous disposons donc, en fait, de deux corps de propositions dont l'un a servi pendant plusoeurs siècles une représentation physique de l'espace à courbure nulle, et dont l'autre n'a pas encore, en 1902, d'usage déterminé en physique. Aussi le jugement rassurant de Poincaré envers la géométrie euclidienne ne manque-t-il pas de piquant, puisque la physique qui va demander sa géométrie à Riemann vont paraître peu après l'ouvrage de Poincaré : il s'agit de l'article d'Einstein de 1905 sur "L'électrodynamique des corps en mouvement, d'une part, puis les développements radicaux que cette théorie de la relativité restreinte va avoir dans le cadre de la relativité générale.
La géométrie euclidienne n'a donc rien à craindre d'expériences nouvelles [4].
L'espace euclidien a, contrairement à ce que pense Poincaré, beaucoup de soucis à se faire puisque la métrique de l'espace est, dans la relativité générale, directement dépendante de la répartition des masses dans l'univers. L'espace physique de la relativité, continu à quatre dimensions, est décrit par un tenseur métrique et sa figure la plus intuitive, c'est un ensemble de surfaces courbes où la trajectoire de la lumière, ainsi que celle de tout corps se fait selon les géodésiques que les masses célestes créent dans le tissu de l'espace-temps. Plus cocasse encore est le fait qu'il existe une observation cruciale qui a assis la théorie de la relativité : on a pu observer le fait que la lumière ne se déplace pas universellement en ligne droite lors d'une éclipse du soleil en 1915. Pour autant, indépendemment de l'effet saisissant du contexte qui semble donner tort aux idées fort classiques de Poincaré, le succès de la Relativité vaut-il pour une condamnation du principe de lecture épistémologique selon lequel toute géométrie est indépendante des heurts et malheurs de la physique qui en fait usage ? La géométrie de Riemann existait à l'état de construction théorique bien avant de se voir investie du pouvoir de décrire l'univers relativiste. Poincaré lui-même, dans une conférence donnée sur l'avenir de la science physique, prend en compte les modifications engendrées par la mécanique nouvelle :
Peut-être aussi devrons-nous construire toute une mécanique nouvelle que nous ne faisons qu'entrevoir, où, l'inertie croissant avec la vitesse, la vitesse de la lumière deviendrait une limite infranchissable. La mécanique vulgaire, plus simple, resterait une première approximation puisqu'elle serait vraie pour les vitesses qui ne seraient pas très grandes, de sorte qu'on retrouverait encore l'ancienne dynamique sous la nouvelle. Nous n'aurions pas à regretter d'avoir cru aux principes, et même, comme les vitesses trop grandes pour les anciennes formules ne seraient jamais qu'exceptionnelles, le plus sûr dans la pratique serait encore de faire comme si on continuait à y croire [5].
La structure épistémologique élaborée dans La Science et l'hypothèse demeure donc valable, même lorsque la physique a changé radicalement l'usage qu'elle fait des géométries disponibles. Contre l'inscription des axiomes géométriques dans le simple cadre des principes expérimentaux de la dynamique, l'exemple de la géométrie riemanienne est éclairant et Poincaré peut alors sans crainte réaffirmer que ni l'optique ni la mécanique classiques ne sont le terrain où s'exprime l'essence de la géométrie :
Une relation géométrique peut remplacer avantageusement une relation qui, considérée à l'état brut, devrait être regardée comme mécanique, elle peut en remplacer une autre qui devrait être regard ée comme optique, etc. Et alors qu'on ne vienne pas dire : mais c'est la preuve que la géométrie est une science expérimentale ; en séparant ses principes de lois d'où on les a extraits, vous la séparez artificiellement elle-même des sciences qui lui ont donné naissance. Les autres sciences ont également des principes et cela n'empêche pas qu'on doive les appeler expérimentales. Il faut reconnaître qu'il aurait été difficile de ne pas faire cette séparation que l'on prétend artificielle. On sait le rôle qu'a joué la cinématique des corps solides dans la genèse de la géométrie ; devrait-on dire alors que la géométrie n'est qu'une branche de la cinématique expérimentale ? Mais les lois de la propagation rectiligne de la lumière ont contribué aussi à la formation de ses principes. Faudra-t-il que la géométrie soit regardée à la fois comme une branche de la cinématique et comme une branche de l'optique ? Je rappelle en outre que notre espace euclidien qui est l'objet propre de la géométrie a été choisi, pour des raisons de commodité, parmi un certain nombre de types qui préexistent dans notre esprit et qu'on appelle groupes. Si nous passons à la mécanique, nous voyons encore de grands principes dont l'origine est analogue, et comme leur rayon d'action pour ainsi dire est moins grand, on n'a plus de raison de les séparer de la mécanique proprement dite et de regarder cette science comme déductive. En physique enfin, le rôle des principes est encore amoindri. Et en effet on ne les introduit que quand on y a avantage. Or ils ne sont avantageux justement que parce qu'ils sont peu nombreux, parce que chacun d'eux remplace à peu près un grand nombre de lois. On n'a donc pas intérêt à les multiplier. D'ailleurs il faut aboutir, et pour cela il faut bien finir par quitter l'abstraction pour prendre le contact de la réalité. Voilà les bornes du nominalisme, et elles sont étroites [6].
Cette philippique lancée à la philosophie nominaliste de Le Roy, décrit adéquatement la position intermédiaire de l'épistémologie de Poincaré : entre empirisme et nominalisme, il existe un terrain conceptuel dans lequel la reconnaissance du caractère conventionnel des axiomes mathématiques ne constitue pas une réfutation de leur origine dans une structure naturelle, proprement humaine, du fonctionnement de l'esprit. De même la reconnaissance de la valeur des principes et axiomes dans les sciences expérimentales ne conduit pas nécessairement à faire des conventions mathématiques de simples hypothèses physiques devenues générales après avoir été formalisées. Les conventions géométriques sont à l'image des conventions propres au système métrique et, affirme Poincaré, vouloir étalonner un principe géom étrique, tel la ligne droite, à partir d'une propriété des corps, revient à ne rien dire :
Il est donc impossible d'imaginer une expérience concrète qui puisse être interprétée dans le système euclidien et qui ne puisse pas l'être dans le système lobatchevskien (...) [7].
Poincaré aborde la question par d'autres biais, ceux du principe de raison suffisante et du principe de relativité. De façon étrange, Poincaré ne développe à aucun moment de façon précise ce qu'il entend par la violation possible du principe de raison suffisante qui décrit classiquement l'équivalence de la cause et de l'effet. Sauf peut-être à considérer qu'il entre en jeu dans l'intervalle de temps qui sépare l'état initial d'un système et celui qui est le sien à un temps quelconque, seule le principe de relativité est ici analysé. Poincaré s'est penché sur les contradictions qui existent entre le principe de relativité et les équations de l'électrodynamique. En 1900 puis en 1905, il est l'auteur de deux articles qui tentent de remédier au problème du désaccord entre la troisième loi de Newton, sur l'action et la réaction, et la théorie des champs. En effet, lorsqu'un corps aimanté se déplace par rapport à un corps électrisé, on crée un champ électrique. L'inverse n'est pas vrai et l'un des dogmes de la physique classique est ici mis à mal. Moins nettement que Einstein, Poincaré va avoir recours à l'hypothèse, déjà soutenue par Lorentz, d'une contraction des corps soumis au mouvement terrestre. Car la question des anomalies de l'électromagnétisme, jointe à la démonstration expérimentale (par Michelson- Morley) d'une incidence nulle du mouvement de la Terre sur la vitesse de la lumière [8].
L'irruption de cette notion dans l'ouvrage montre que ce qui est nommé ici la loi de relativité est un invariant physique qui définit l'espace et qui doit dont être le point crucial où une théorie doit faire la preuve qu'elle est applicable, en quelque façon, au réel. Poincaré place donc le principe de relativité au-dessus de tout soupçon, et il peut à son tour jour le rôle de discriminant. Bien évidemment, Poincaré peut affirmer immédiatement que le principe de relativité est parfaitement respecté dans la géométrie euclidienne. Historiquement, c'est dans le contexte d'un espace euclidien qu'il a été utilisé pour définir l'essence du mouvement. Poincaré raisonne alors de cette façon : on pourrait considérer que si les expériences dans l'euclidien sont transposées dans le non-euclidien et qu'elles violent la loi de relativité, du fait de leur effectuation dans un espace à la courbure non nulle, doit-on en conclure à l'invalidité de ces géométries ? Un principe invariant des sciences expérimentales peut-il décider de la vérité d'une géométrie ? Le raisonnement est vicié, car par définition, le principe de relativité s'applique à l'espace, quelle que soit sa géométrie. Espace, ici, euclidien ou pas, signifie la totalité des parties de l'univers. Quelle que soit l'allure étrange, et éventuellement complexe, des équations qui pensent l'invariance des lois par transformation ou translation dans un espace non euclidien, la loi de relativité n'y sera pas violée ou du moins : aucune expérience ne pourra mettre en évidence cette violation et encore moins la tenir pour une preuve de fausseté des nouvelles géométries. Sur ce point, l'interprétation par Einstein des transformations de Lorenz donnera raison à Poincaré. Ce dernier met à part un problème épineux, qui a occupé tant Huygens, Leibniz que Newton : le mouvement de rotation imprime une force à l'objet qui s'y trouve soumis et semble indiquer non pas un mouvement relatif, mais un mouvement absolu. Leibniz en fait l'indice ou le symptôme d'une substantialit é qui perce sous l'apparence géométrique de mouvement, Huygens tente de l'éliminer par une application stricte de la relativité classique et Newton utilise cette propriété pour fonder l'idée d'un espace absolu. Poincaré, quant à lui, fait l'impasse sur les implications de cet éventuel vrai mouvement dans le corps, renvoyant seulement à la Troisième Partie de son livre l'analyse de la réaction de Newton.
Quoi qu'il en soit, cette difficulté est la même pour la géométrie d'Euclide et pour celle de Lobatchevsky ; je n'ai donc pas à m'en inquiéter et je n'en ai parlé qu'incidemment. Ce qui importe, c'est la conclusion : l'expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky[9].
L'expérience que l'on pratique à l'égard des propriétés des corps est tout simplement sans rapport avec la nature de l'espace dans lequel ces corps sont plongés. Pour le prouver, Poincaré met en oeuvre l'analyse d'expériences tendant respectivement à prouver la fausseté puis la vérité de l'espace euclidien. C'est que les valeurs de vérité ou de fausseté ne sont pas appropriées pour penser un système tel qu'une géométrie consistante. Le Supplément n'est destiné qu'à préciser davantage la compréhension que nous devons avoir de l'objet désigné dans le langage courant par le terme point. Cette reconstruction rationnelle en termes de classes aboutit à la notion de groupe, et plus particulièrement à ces géométries décrites par le filtre du théorème de Lie : celles qui sont fondées par les groupes de déplacement. C'est alors que l'expérience, et singulièrement le corps, opère le choix d'une géométrie adaptée aux besoins de la représentation courante du point. Ce processus s'accomplit, chez Poincaré, dans une notation historico-anthropologique qui accentue la condition de commodité qui préside à l'entrée de la géométrie dans les pratiques :
L'expérience ancestrale. On a dit souvent que si l'expérience individuelle n'a pu créer la géométrie, il n'en est pas de même de l'expérience ancestrale. Mais qu'entend-on par là ? Veut-on dire que nous ne pouvons démontrer expérimentalement le postulatum d'Euclide, mais que nos ancêtres ont pu le faire ? Pas le moins du monde. On veut dire que par sélection naturelle notre esprit s'est adapté aux conditions du monde extérieur, qu'il a adopté la géométrie la plus avantageuse à l'espèce ; ou en d'autres termes la plus commode. Cela est tout à fait conforme à nos conclusions, la géométrie n'est pas vraie, elle est avantageuse
[10]. [108]
Il a fallu une explicitation rigoureuse du conventionalisme de Poincaré pour parvenir à cette conclusion doublement renversante : d'une part la valeur de vérité n'est pas pensée ici en fonction de la consistance propre à la géométrie. Une géométrie qui n'est pas vraie n'en demeure pas moins un laboratoire de la preuve. D'autre part l'abandon de la valeur dominante du modèle géométrique comme fondement du vrai en philosophie naturelle ne signifie pas la perte du sens rationnel qui s'attache à la forme scientifique en général. Poincaré n'est pas un sceptique. Le conventionalisme, dont la première conclusion est de séparer la géométrie de tout jugement extérieur, prépare en fait le terrain à sa pleine expression dans les sciences de la nature.
Notes
[1] De revolutionibus orbium coelestium, 1543
[2] Théologien. Voir aussi Rheticus, Narratio prima,éd. critique, trad. fran¸caise, H. Hugonnard-Roche et P. Vernet, Studia Copernicana XX, Wroclaw-Warszawa, 1982, p. 238-245
[3] Tout phénomène est réduit à son activité mesurable de déplacement et la mécanique est une cinétique.
[4]
Henri Poincaré, Henri Poincaré, La science et l’hypothèse, Paris, Flammarion, 1943 (éd. consultée), p. 96.
[5]
Henri Poincaré, La Valeur de la science, Paris, Flammarion, 1963 (éd. consultée), p. 211.
[6]
Ibidem, p. 241.
[7]
La Science et l'hypothèse, op. cit., p. 97.
[8]
Supposée constante dans l'éther, cette vitesse devrait, par rapport au mouvement de la Terre, subir la règle d'addition classique des vitesses. Il s'agit d’une autre entorse au principe de relativité qui est un cas particulier, cinématique, de la Troisième loi de Newton.
[9]
La Science et l'hypothèse, op. cit., p. 100-101.
[10] Ibidem, p. 108.
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